|
ریاضی یازدهم صفحه ۹۸ - فعالیت ۱
۱) جدولهای زیر را تکمیل کنید. (مقادیر بهصورت تقریبی نوشته شده است.)
جدول اول:
$x$: $-\frac{5}{2}$ | .... | $-\frac{3}{2}$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $\frac{3}{2}$ | $2$ | $\frac{5}{2}$
$y=x^2$: $6/25$ | $4$ | $2/25$ | $1$ | $0/25$ | $0$ | $0/25$ | $1$ | $2/25$ | .... | $6/25$
جدول دوم:
$x$: $-3$ | $-2$ | $-\frac{3}{2}$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $\frac{3}{2}$ | $2$ | $\frac{5}{2}$
$y=2^x$: $0/12$ | .... | $0/35$ | $0/5$ | $0/71$ | .... | .... | $2$ | $2/83$ | .... | $5/66$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۹۸ - فعالیت ۱
**هدف آموزشی تمرین**
این تمرین با هدف درک عمیقتر تفاوت رفتاری بین **توابع توانی** (که متغیر در پایه است) و **توابع نمایی** (که متغیر در توان است) طراحی شده است. دانشآموز با محاسبه مقادیر عددی، سرعت تغییرات و ویژگیهای خروجی هر تابع را به ازای ورودیهای یکسان مقایسه میکند.
**حل تشریحی و گامبهگام**
**گام ۱: تکمیل جدول تابع $y=x^2$**
در این تابع، هر ورودی $x$ باید به توان ۲ برسد.
- برای ستون دوم، داریم $y=4$. چون توان ۲ است، ریشههای آن $2$ و $-2$ هستند. با توجه به ترتیب اعداد، مقدار خالی $x=-2$ است.
- برای ستون دهم، ورودی $x=2$ است، پس $y=2^2=4$.
**گام ۲: تکمیل جدول تابع $y=2^x$**
در این تابع، عدد ۲ پایه ثابت است و $x$ در توان قرار میگیرد.
- برای $x=-2$: $y=2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0/25$.
- برای $x=0$: $y=2^0 = 1$.
- برای $x=\frac{1}{2}$: $y=2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \approx 1/41$.
- برای $x=2$: $y=2^2 = 4$.
**نکته آموزشی:**
توجه کنید که در تابع $y=2^x$، حتی برای ورودیهای منفی، حاصل همیشه **مثبت** باقی میماند، در حالی که در تابع $y=x^2$ نیز به دلیل توان زوج، خروجیها هرگز منفی نمیشوند اما میتوانند صفر شوند.
**جمعبندی آموزشی**
دانشآموز با حل این تمرین مهارت **نقطهیابی** برای رسم نمودارهای غیرخطی را کسب کرده و متوجه تفاوت مقادیر خروجی در توابع نمایی و توانی میشود که پیشنیازی برای مبحث رشد و زوال است.
ریاضی یازدهم صفحه ۹۸ - فعالیت ۲
۲) حال، این دو نمودار را در یک دستگاه مختصات رسم میکنیم. در چند نقطه مقادیر $2^x$ و $x^2$ با هم مساویاند؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۹۸ - فعالیت ۲
**هدف آموزشی تمرین**
هدف از این بخش، آموزش روش **حل هندسی معادلات** است. دانشآموز یاد میگیرد که ریشههای یک معادله (جایی که دو عبارت با هم برابرند) در واقع همان طول نقاط تلاقی نمودارهای آنها در صفحه مختصات است.
**حل تشریحی و گامبهگام**
**گام ۱: تحلیل نقاط تلاقی از روی جدول**
با نگاه به محاسبات فعالیت قبلی، میبینیم که در $x=2$ مقدار هر دو تابع برابر با $4$ شد. پس $(2, 4)$ یک نقطه برخورد است. همچنین در $x=4$ (که خارج از بازه جدول بود اما با محاسبه مشخص است) داریم: $4^2 = 16$ و $2^4 = 16$. پس $(4, 16)$ نقطه دوم است.
**گام ۲: تحلیل نموداری برای بخش منفی**
با رسم دقیق نمودارها، مشاهده میکنیم که منحنی $y=2^x$ که از سمت چپ به محور $x$ نزدیک میشود، در یک نقطه با طول منفی (بین $-1$ و $0$) منحنی سهمی $y=x^2$ را قطع میکند.
**نتیجهگیری:** این دو نمودار در مجموع در **۳ نقطه** یکدیگر را قطع میکنند، یعنی معادله $2^x = x^2$ دارای ۳ ریشه است.
**اشتباه رایج:**
بسیاری از دانشآموزان با حدس زدن فقط به نقاط $2$ و $4$ میرسند و نقطه تلاقی در سمت اعداد منفی را به دلیل ماهیت نمایی تابع فراموش میکنند.
**جمعبندی آموزشی**
این تمرین به دانشآموز میآموزد که برای تعیین تعداد جوابهای یک معادله پیچیده، رسم نمودار دقیقترین و بصریترین راه ممکن است.
ریاضی یازدهم صفحه ۹۸ - فعالیت ۳
۳) در $x^2$، متغیر در پایه و عدد ثابت در توان است؛ ولی در $2^x$، متغیر در توان و عدد ثابت در پایه است.
[تصویر شامل دو نمودار است: یکی با نقاط مجزا و دیگری با خطوط پیوسته که توابع $y=x^2$ و $y=2^x$ را مقایسه میکند]
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۹۸ - فعالیت ۳
**هدف آموزشی تمرین**
هدف این فعالیت، جمعبندی نهایی و بصریسازی تفاوتهای ساختاری توابع توانی و نمایی است تا دانشآموز بتواند با نگاه به ضابطه تابع، رفتار کلی نمودار آن را پیشبینی کند.
**حل تشریحی و گامبهگام**
**گام ۱: پر کردن جاهای خالی متن**
با توجه به مفاهیم ریاضی:
- در $x^2$، متغیر در **پایه** و عدد ثابت در **توان** است.
- در $2^x$، متغیر در **توان** و عدد ثابت در **پایه** است.
**گام ۲: تحلیل نمودارهای پیوسته و گسسته**
در تصویر سمت چپ، نقاط تکی محاسبه شده از جدول قرار داده شدهاند تا روند تغییرات مشخص شود. در تصویر سمت راست، با اتصال این نقاط، نمودار پیوسته ایجاد شده است:
* **نمودار صورتی ($y=x^2$):** یک سهمی است که نسبت به محور عرضها تقارن دارد.
* **نمودار آبی ($y=2^x$):** یک تابع صعودی قدری است که برای $x$های بزرگ، با سرعت بسیار بیشتری نسبت به سهمی بالا میرود.
**نکته آموزشی:**
در توابع نمایی با پایه بزرگتر از یک ($a > 1$)، هرچه $x$ بزرگتر شود، سرعت رشد تابع از هر تابع چندجملهای دیگری بیشتر خواهد شد که به آن **رشد انفجاری** یا نمایی میگویند.
**جمعبندی آموزشی**
دانشآموز با این فعالیت تفاوت کلیدی جایگاه متغیر در ضابطه را درک کرده و میتواند تشخیص دهد که کدام تابع در بازههای طولانی، مقادیر بزرگتری تولید میکند.
